塑料托盤塑料成型流動模擬數學模型的建立

北京塑料托盤興鵬認為：我們要進行數值模擬，必須建立塑料熔體流動的主控方程，而實際塑料熔體 的流動是非牛頓粘彈性流體，非等溫、非穩(wěn)態(tài)的，這是無法直接用粘性流動力學 的基本方程，只能進行必要的合理簡化后才能實現。

1）粘性流體力學基本方程

（1）連續(xù)性方程：由質量守恒定律可得，連續(xù)性方程表達式為:

業(yè)+ Q坐=0

dt dx.

式中Q是體積質量，X,是速度；§是全微分，在歐拉坐標系中可寫為

dt

dt dt 8耳

（2）運動方程：根據動量守恒定律運動流體的運動方程表達式為:

呸+pF ”呸 (2-3)

g dt

式中命是Cauchy應力張量；*是單位質量流體所受的外力。

(3) 能量方程：由能量守恒定律可得，粘性流體的能量方程表達式為：

四空竺+6+23竺)+伽 (2-4) p dt %, dx, 5x/ ”

式中，g是單位質量流體的熱流量；人是熱導率；印是質量定容熱容；①是粘性 熱；p是壓力；T是溫度。

(4) 本構方程：根據廣義牛頓摩擦定律，本構方程表達式為：

勾=衲j-(p-k京咒 (2-5)

式中，〃是流體的動力粘度，對于非牛頓流體〃為一常數；左是材質系數；勾是應 變速率張量，其分量可用下式表示：

勺旦(魚+駕

⁷ 2 dXj dx_i

5) 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程是用來表示壓力p,溫度T及體積質量Q之間的關

系。當流體是可壓縮的，流體的運動就須考慮到熱力學狀態(tài)參數的影響。建立的 狀態(tài)方程為：

P = P(P，T) (2-7)

塑料成型流動模擬實質上就是對以上7個粘性流體力學基本方程進行求解。

在一定的初值條件下，通過對式(2-1),式(2-3),式(2-4),式(2-7)求 解，就能夠得到熔體的壓力、溫度及流動速率，對式(2-5)和式(2-6)求解就 能夠得到剪切應變速率和剪切應力。雖然，理論上只要有合適的初始條件，我們 就能求解出以上7個方程組的一組封閉解，但工程實踐中，數學上對所有這些方 程組進行求解一般相當的困難，即使采用數值計算方法也很難求解成功，所以就 要求我們對方程組進行相應的簡化，才能夠求出方程組解。工程實際中，我們就 是根據塑料熔體充模流動的特點，提出若干假設，將方程組簡化，然后再進行求 解。2) 流動狀態(tài)的假設與簡化

1) 充模流動時，由于型腔中熔體溫度不高，體積可視為不可壓縮，即也=0 , 這時狀態(tài)方程可簡化為#=常數。

(2) 塑料熔體粘度大，粘性剪切力大，相比而言慣性力和質量力就很小，可

忽略不計，即式(2-3)中的p*•和可忽略不計。

(3) 在熔體流動方向上，熱傳導遠小于熱對流，所以可忽略熱傳導項，即式 (2-4)中的旦(人馬+項_(人當可忽略不計。熔體不含熱源，即疔0。

 dx dy dy

(4) 焰體的質量定容率勺和熱導率;l與溫度有關。在充模過程中，通常他們 可以視為常數，因為它的溫度變化范圍不大。

(5) 認為塑料熔體流動時是非彈性的，

(6) 塑料熔體的粘度模型采用克羅斯(Cross)模型：

（2-8）

式中廣為材料常數；〃為牛頓指數；為零剪切粘度，爪=日時亦(式中8, L， 0均為材料常數)。

3) 初邊值條件

求解上述偏微分方程組的積分常數是通過初始條件和邊界條件來確定的，其 中初始條件是指注塑開始時區(qū)域內的參數，如溫度、壓力等；邊界條件則是指邊 界上各物理量的值，具體有如下三種：

(1) 速度邊界條件：在塑料成型時，由于熔體的粘連性，與模腔內表面接觸 的熔體速度等于模腔表面的速度，即邊界速度為0；另外熔體沿型腔壁厚方向都是 對稱流動，所以在中心軸處的速度梯度也是0。所以在速度邊界上，給出速度和速 度梯隊均為0。

^v> =v_osJi—-^L = 0,xer_v (2-9)

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(2) 溫度邊界條件：同理，在溫度邊界上，給出溫度和溫度梯度為0。

〈=編或性=0,"匚 (2-10)

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(3) 壓力邊界條件：在壓力邊界上，給出壓力和壓力梯度為0。

=0^—= 0,xeT (2-11)

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